Del Pezzo surfaces of degree four
摘要
Resume.-Les intersections de deux quadriques dans IPf (c'est-a-dire les surfaces de Del Pezzo de degre 4, soit lisses, soit "singulieres") constituent la premiere classe de surfaces rationnelles dont 1'arithmetique est non-triviale. L'arithmetique de telles surfaces X depend de leurs proprietes algebriques (combinatoires) et geometriques, proprietes que 1'on peut lire sur 1'action du groupe de Galois Gal(A?/^) sur Ie groupe de Picard Pic X (ici k est une cloture separable de k et X=X^.k). Pour etudier ces proprietes, nous donnons des formules generales pour certains invariants cohomologiques importants. Ces formules nous permettent d'etablir la liste des cas "interessants", c'est-a-dire des cas ou ces invariants sont non-triviaux. Nous etudions les equivalences birationnelles entre divers types de surfaces rationnelles de degre 4, tant en termes geometriques que combinatoires. Puis nous exhibons de nombreux exemples explicites (y compris tous les cas "interessants") et nous donnons une methode generate de construction de tels exemples. Nous etudions aussi les proprietes de rationalite du tore de Neron-Severi.