$L$-functions for symplectic groups
摘要
We construct global integrals of Shimura type, which represent the standard (partial) L-function L 8 (-TT 0 (T,^), for TT (g) cr, an irreducible, automorphic, cuspidal and generic representation of Sp^(A) x GL/e(A). We present two different constructions : one for the case n > k and one for the case n < k. These constructions are, in a certain sense, dual to each other. We also study the (completely analogous) case where TT is a representation of the metaplectic group Sp;^(A). Here we have to first fix a choice of a non-trivial additive character 0, in order to define the -L-function L^TT (g) (T,s). The integrals depend on a cusp form of ^r, a theta series on Sp^(A) (f, = mm(n,k)) and an Eisenstein series on Sp^(A) (or Sp^(A)) induced from a. RESUME. -FONCTIONS L POUR GROUPES SYMPLECTIQUES. -On construit des integrales globales de type de Shimura, qui representent la fonction L standard (partielle) L (TT 0 <T, s) pour une representation TT <3> cr, irreductible, automorphe, cuspidale et generique de Sp^y^A) x GL^(A). On presente deux constructions differentes : une pour Ie cas n > k, et une pour Ie cas n < k. Ces constructions sont, dans un certain sens, duales Pune de Pautre. On etudie de meme^ Ie cas (tout a fait analogue) ou TT est une representation du groupe metaplectique Sp^y^A). Ici, on doit d'abord fixer Ie choix d'un caractere additif et non trivial ^, pour definir la fonction L, L 8 ^ (S) cr,s). Les integrales dependent d'une forme cuspidale de TT, d'une serie theta sur Sp^(A) {i = min(n, A;)) et d'une serie d'Eisenstein sur Sp2^;(A) (ou Sp^(A)) induite par a.