有限个互素因子链上幂GCD 矩阵与幂LCM 矩阵的行列式的整除性
摘要
设$S =\{{x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n } \}$是由$n$个不同的正整数组成的集合, 并设$a$为正整数. 如果一个$n$阶矩阵的第$i$行$j$列元素是$S$中元素~\(x_i\)和$x_j $的最大公因子的$a$次幂 $( {x_i ,x_j })^a $, 则称该矩阵为定义在$S$上的$a$次幂最大公因子(GCD)矩阵, 用$( {S^a } )$表示；类似定义$a$ 次幂LCM矩阵 $[ {S^a }]$. 如果存在$\{ {1,2, \ldots ,n}\}$上的一个置换$\sigma $使得$x_{\sigma (1)}|{x_{\sigma (2)} }|{ \cdots | {x_{\sigma (n)} } } $, 则称$S$为一个因子链. 如果存在正整数$k$, 使得$S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_k $, 其中每一个$S{}_i$ $(1 \le i \le k)$均为一个因子链, 并且对所有的$1 \le i \ne j \le k$, $S_i$中的每个元素与$S_j $中的每个元素互素, 则称$S$由有限个互素因子链构成. 本文中, 设$S$ 由有限个互素的因子链构成, 并且$1 \in S$. 我们首先给出幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的公式, 然后证明: 如果 $a|b $, 则$\det (S^a )| {\det ( {S^b } )} $, $\det [ {S^a } ]| {\det [ {S^b } ]} $, $\det (S^a )| {\det [ {S^b } ]} $. 最后我们指出: 如果构成$S$的有限个因子链不互素, 则此结论一般不成立. MSC (2000) 主题分类11C20, 11A05, 15A36