Generalization of von Neumann's spectral sets and integral representation of operators
摘要
We extend von Neumann's theory of spectral sets, in order to deal with the numerical range of operators. An integral representation for arbitrary operators is given, allowing to extend functional calculus to non-normal operators. We apply our results to the proof of the Burkholder conjecture: let T be an operator consisting in a finite product of conditional expectation, then for any square integrable function /, the iterates T n f converge almost surely to some limit. RESUME. -GENERALISATION DES ENSEMBLES SPECTRAUX ET REPRESENTATION INTEGRALE DES OPERATEURS. -Nous modifions la theorie des ensembles spectraux de von Neumann pour Pappliquer a Pimage numerique des operateurs. Nous donnons une representation integrale pour des operateurs bornes quelconques; ceci etend Ie calcul fonctionnel aux operateurs non normaux. Comme application, nous demontrons la conjecture de Burkholder: soit T un operateur produit d'un nombre fini d'esperances conditionnelles, alors pour toute fonction de carre sommable /, les iterees T n f convergent presque surement.