Linearization of analytic and non-analytic germs of diffeomorphisms of $({\mathbb C},0)$
摘要
We study Siegel's center problem on the linearization of germs of diffeomorphisms in one variable. In addition of the classical problems of formal and analytic linearization, we give sufficient conditions for the linearization to belong to some algebras of ultradifferentiable germs closed under composition and derivation, including Gevrey classes. In the analytic case we give a positive answer to a question of J.-C. Yoccoz on the optimality of the estimates obtained by the classical majorant series method. In the ultradifferentiable case we prove that the Brjuno condition is sufficient for the linearization to belong to the same class of the germ. If one allows the linearization to be less regular than the germ one finds new arithmetical conditions, weaker than the Brjuno condition. We briefly discuss the optimality of our results. RESUME. -LINEARISATION DE GERMES DE DIFFEOMORPHISMES ANALYTIQUES ET NON ANALYTIQUES DE (C, 0). -Nous etudions Ie probleme du centre de Siegel sur la linearisabilite des germes de diffeomorphismes d'une variable. Aux problemes classiques de linearisation formelle et analytique nous ajoutons des conditions suffisantes pour que la linearisation appartienne a certaines algebres de germes ultradifferentiables qui sont fermees par composition et derivation et qui incluent les classes de Gevrey. Dans Ie cas analytique nous donnons une reponse positive a une question posee par J.-C. Yoccoz sur I'optimalite des estimations obtenues par la methode classique des series majorantes. Dans Ie cas ultradifferentiable nous prouvons que la condition de Brjuno est suffisante pour que la linearisation appartienne a la meme classe que Ie germe. Si on admet que la linearisation soit moins reguliere que Ie germe on trouve des nouvelles conditions arithmetiques, plus faibles que la condition de Brjuno. Nous donnons une courte discussion de 1'optimalite des resultats obtenus.