Canonical homotopy operators for the $\overline{\partial}$ complex in strictly pseudoconvex domains
摘要
In a strictly pse_udoconvex domain D == {p < 0} in C"', we study the homotopy operators Ka for Q that are canonical with respect to the metric (-p)i9 Q log(l / -p) and weights (-p) 0 ', a > 0, and their relation to the canonical homotopy operator K^ for Q^ on QD. We prove that the boundary values of the kernel of Ka in the ball are provided by well-known integral formulas due to Henkin, Skoda et al. We are able to compute the kernel for Ka in the interior of D, by using a technique for representing forms in D by complex tangential forms on the boundary of a higher dimensional domain. This is a generalization of a well-known technique for functions. In the ball we also prove the commutation rule 9/9z^Ka = Ka+iQ/9^, which generalizes a well-known fact about the weighted Bergman projections, and use it to construct homotopy formulas for OQ in the ball. RESUME. -OPERATEURS D'HOMOTOPIE DANS LES DOMAINES STRICTEMENT PSEUDO-CONVEXES. -Dans un domaine strictement pseudoconvexe D = {p < 0} dans ! C n , on etudie les operateurs d'homotopie Ka pour les Q canoniques pour la metrique {-p)i99 log(l/-p) et les poids (-p)", a > 0 et leur relation avec Poperateur canonique d'homotopie K^ pour Ie Q^ dans QD. On demontre que les valeurs au bord du noyau de Ka pour la boule sont donnes par les formules integrales de Henkin, Skoda et al. On parvient a calculer Ie noyau de Ka a Pinterieur du domaine D en utilisant une technique pour representer les formes dans D par des formes tangentielle complexes au bord d'un domaine dans une dimension plus elevee. II s'agit la d'une generalisation